Elementos del Círculo

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En un post anterior hablamos del círculo, sus propiedades geométricas y algunos de los elementos que se encuentran en él.

Debido a la gran importancia que tienen estos elementos, dedicaremos el artículo de hoy a describirlos detalladamente.

El centro

De todo el conjunto de puntos inscritos (internos) al círculo, el centro es el más importante de ellos. Representado comúnmente como:

C(h,k)

es el punto que se toma como referencia para hacer las mediciones dentro del círculo.

centro del circulo

En la imagen, podemos ver como la región delimitada del circulo tiene centro en , es decir -1 para la coordenada  y 1 para la coordenada en .

Si midiéramos la distantica entre el centro y el punto en el perímetro  el resultado seria 3.3812 medida que corresponde al radio del círculo. De esta forma, para que un punto sea interior al círculo debe medir respecto al centro menos de 3.3812.

El radio

Es la distancia máxima de separación que deben tener los puntos internos en un círculo. También se entiende como radio al segmento de recta que tiene como extremo inicial el centro y como extremo final cualquier punto en la periferia del círculo.

Se denota comúnmente con la letra «r» minúscula. La relación que debe cumplir todo punto que pertenezca al círculo es:

\left(x-h\right)^2+\left(y-k\right)^2<r^2

Si retomamos el ejemplo anterior e incluimos dos nuevos puntos: uno interno al círculo E(-2,2) y otro externo D(3,4), podemos determinar si se cumple la condición para ambos.

Para el primer punto E(-2,2):

\left(-2+1\right)^2+\left(2-1\right)^2<{3.3812}^2
2<11.4351344

Se cumple la condición ya que, efectivamente se encuentra dentro del perímetro.  es un punto interior al círculo.

Para el segundo punto D(3,4):

\left(3+1\right)^2+\left(4-1\right)^2<{3.3812}^2
20<11.4351344

No se cumple la condición ya que, efectivamente se encuentra fuera del perímetro.  no es un punto interior al círculo.

El diámetro

Es el segmento de recta inscrito en el círculo cuya magnitud es igual a dos veces el radio. Imaginemos dos puntos, ambos paralelos al centro y en la periferia del círculo. El segmento de recta que los une y que también pasa por el centro, es el diámetro.

Otra manera de describir al diámetro, es como la suma de dos segmentos de radio que son colineales, es decir, que están contenidos en la misma recta. A continuación, un par de imágenes para visualizarlo mejor.

Dos puntos E y D paralelos al centro, cuya recta que los une pasa también por el centro. Su magnitud es 6.7625, exactamente dos veces el radio.

Dos radios  y  que son colineales entre ellos y que juntos miden 6.7625, forman un diámetro dentro del círculo.

La cuerda

Se define como cuerda del círculo a toda recta que la atraviesa. Si lo pensamos, el diámetro sería una cuerda de longitud máxima 2r.

cuerda circulo

En la imagen, el segmento

\bar{DE}

es una cuerda dentro del círculo.

El arco de círculo

Se llama arco de círculo a una región con contorno circular que se encuentra delimitada entre dos segmentos de radio. Se entiende también como arco al círculo que no fue completamente razado. El arco se expresa como:

l
Arc
\widehat{AB}


En la imagen puede apreciarse el arco formado por el contorno circular, y los segmentos de radio

\bar{AC}
y
\bar{AB}

El arco puede medirse en ángulos o en longitud, ambas magnitudes serán equivalentes siempre que se conozca el radio del círculo.

Expresado en ángulo

Expresado en longitud

La ecuación de equivalencia:

l=r\alpha

Nota: \alpha debe estar escrito en radianes.

Usos de los elementos del círculo

Es de vital importancia estar familiarizado con ellos. Muchos problemas de geometría elemental y geometría analítica, tienen su solución a través de las relaciones de estos elementos con determinados ángulos y rectas notables en el círculo.

Ejercicios resueltos

Problema 1

Determinar la ecuación del círculo que tiene como cuerda diametral, al segmento formado por los puntos A(1,2) y B(7,6).

Solución:

Ya que ambos puntos conforman un diámetro del círculo por propiedad, el centro debe encontrarse a la mitad:

h=1+\frac{7-1}{2}=4
k=2+\frac{6-2}{2}=4

Las coordenadas del centro son:

C(4,4)

Calculamos ahora el radio como:

d\left(C,A\right)=r=\sqrt{{(4-1)}^2+\left(4-2\right)^2}=\sqrt{13}

La ecuación del círculo:

\left(x-4\right)^2+\left(y-4\right)^2<13

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