Geometría
Es una de las ramas de las matemáticas más antiguas y cuyo desarrollo ha sido de gran impacto en muchas áreas de la ciencia. Sin la geometría no sería posible construir edificaciones, modelar sistemas físicos y ni hablar de la creación de videojuegos.
En esta ocasión, examinaremos a fondo que es la geometría, cuáles son sus ramas y que aplicaciones modernas tiene la geometría para nuestro día a día.
¿Qué es la geometría?
Es una de las ramas fundamentalistas de las matemáticas, encargada del estudio de las figuras, sus propiedades, los objetos que las componen y las operaciones que se pueden realizar sobre ellos.
Breve Historia de la Geometría
La palabra geometría, proviene de la combinación de geo que significa tierra y metrein que quiere decir medir. Los egipcios y babilonios ya habían desarrollado formas para medir la superficie de campos y la inclinación de vigas para la construcción de edificaciones.
La necesidad de llevar más allá estas construcciones les impulsó a continuar estos estudios. Ya en Grecia y de la mano de Pitágoras y Euclides, esta rama de las matemáticas sería por fin descrita de manera formal. En base a axiomas y postulados fundamentales.
En la obra Los Elementos de Euclides, se expone todo lo que se conocía de la geometría en ese entonces con un tratamiento riguroso. Así es como nace la llamada Geometría Euclidiana, cuyos axiomas (verdades tomadas como absolutas y que no necesitan demostración) son los famosos postulados de Euclides.
Postulados de Euclides de la Geometría
- Por dos puntos cualesquiera pasa solo una única recta
- Todo segmento de recta está contenido en una recta y por ende, puede extenderse indefinidamente
- Para trazar cualquier circunferencia, solo se necesita un centro y un radio
- La resta entre dos ángulos rectos cualesquiera será siempre cero
- Dada una recta y un punto exterior a ella, solo es posible trazar una única recta que sea paralela a la primera y que pase por el punto exterior a ella
Más tarde, en 1637 el matemático, físico y filósofo francés Rene Descartes logró vincular los conceptos de geometría y el álgebra elemental en su trabajo La Géométrie. En él, describió cómo resolver problemas geométricos a partir del algebra, dando inicio a la Geometría Analítica.
Otros matemáticos como Gauss, Euler y Hilbert continuaron estudiando la obra de Euclides. Cuyos esfuerzos dieron como fruto las más sofisticadas ramas de la geometría moderna: la topología y la geometría diferencial.
Ramas de la geometría
La geometría permite describir al mundo que nos rodea a la perfección. Incluso construir conceptos abstractos capaces de modelar comportamientos que no son intuitivos para nosotros (llamadas también geometrías no euclidianas) o que ni siquiera podemos ver.
En relación a ello, la geometría puede tomar (y lo hace) numerosos enfoques. Es por eso que puede clasificarse como:
Geometrías según el espacio
Son geometrías que describen a los cuerpos que coexisten en ella, basándose en las características del lugar en el que se manifiestan.
La primera de ellas fue la Geometría de Euclides, donde la concepción del espacio geométrico es plano y cuyos axiomas o reglas son los 5 postulados de Euclides.
El resto de geometrías surge por tomar a los primeros 4 y al quinto modificado de alguna forma. Dando pie a las llamadas Geometrías no Euclidianas. Algunas de ellas son:
- Geometría esférica, como la empleada en el posicionamiento GPS
- Geometría de Riemann, aquella donde una superficie no necesita conocer el espacio para ser descrita
- Geometría finita, un espacio definido por una cantidad finita de puntos
Geometría de transformaciones
Es una geometría que tiene el enfoque dirigido en encontrar el conjunto de las transformaciones sobre objetos que los dejan invariantes. Aunque parezca poco intuitiva, estas transformaciones son el pilar de muchas teorías de física moderna.
Geometría de representaciones
También con un enfoque más abstracto, se centran en el estudio de las propiedades de los cuerpos geométricos a partir de otros conceptos matemáticos.
Se abandona el pensamiento tangible de Euclides, donde las figuras se construían mediante puntos y rectas, a describir dicha construcción mediante el álgebra abstracta, el cálculo o la teoría de grupos.
Algunas de las ramas más resaltantes son:
- Geometría analítica, capaz de describir cualquier aspecto de las figuras mediante el álgebra elemental
- Geometría descriptiva, se vales de proyecciones y traslaciones para representar toda la información de un objeto tridimensional en un plano bidimensional
- Geometría diferencial, que estudia a la geometría de las curvas y superficies empleando el análisis funcional y el álgebra lineal
Topología
Mientras que la geometría estudia a los cuerpos en base a los elementos que los conforman junto a las características de dichos elementos. La topología es un enfoque distinto, que estudia las propiedades de los objetos que permanecen invariantes bajo transformaciones suaves.
Imaginemos a un donut hecho de goma al cual aplastamos hasta que se convierte en un disco. Una propiedad que permanecería constante luego de la transformación suave es el área del cuerpo.
La topología no admite cortes ni rupturas en las transformaciones. Es una rama relativamente moderna, cuyo padre es el matemático Henry Poincare.
